Программа для упрощения выражений


Упрощение выражений

Люди общаются на разных языках. Для нас важным сравнением является пара «русский язык – математический язык». Одну и ту же информацию можно сообщить на разных языках. Но, кроме этого, её можно и на одном языке произнести по-разному.

Например: «Петя дружит с Васей», «Вася дружит с Петей», «Петя с Васей друзья». Сказано по-разному, но одно и то же. По любой из этих фраз мы бы поняли, о чём идёт речь.

Давайте посмотрим на такую фразу: «Мальчик Петя и мальчик Вася дружат». Мы поняли, о чем идет речь. Тем не менее, нам не нравится, как звучит эта фраза. Не можем ли мы её упростить, сказать то же, но проще? «Мальчик и мальчик» – можно же один раз сказать: «Мальчики Петя и Вася дружат».

«Мальчики»… Разве по именам не понятно, что они не девочки. Убираем «мальчики»: «Петя и Вася дружат». А слово «дружат» можно заменить на «друзья»: «Петя и Вася – друзья». В итоге первую, длинную некрасивую фразу заменили эквивалентным высказыванием, которое проще сказать и проще понять. Мы эту фразу упростили. Упростить– значит сказать проще, но не потерять, не исказить смысл.

В математическом языке происходит примерно то же самое. Одно и то же можно сказать, записать по-разному. Что значит упростить выражение? Это значит, что для исходного выражения существует множество эквивалентных выражений, то есть тех, что означают одно и то же. И из всего этого множества мы должны выбрать самое простое, на наш взгляд, или самое подходящее для наших дальнейших целей.

Например, рассмотрим числовое выражение . Ему эквивалентное будет .

Также  будет эквивалентно первым двум: .

Получается, что мы упростили наши выражения и нашли самое краткое эквивалентное выражение.

Для числовых выражений всегда нужно выполнять все действия и получать эквивалентное выражение в виде одного числа.

Рассмотрим пример буквенного выражения . Очевидно, что более простое будет .

При упрощении буквенных выражений необходимо выполнить все действия, которые возможны.

Всегда ли нужно упрощать выражение? Нет, иногда нам удобнее будет эквивалентная, но более длинная запись.

Пример: от числа  нужно отнять число .

Вычислить можно, но если бы первое число было представлено своей эквивалентной записью: , то вычисления были бы мгновенными: .

То есть упрощенное выражение не всегда нам выгодно для дальнейших вычислений.

Тем не менее очень часто мы сталкиваемся с заданием, которое так и звучит «упростить выражение».

Упростить выражение: .

Решение

1) Выполним действия в первых и во вторых скобках: .

2) Вычислим произведения: .

Очевидно, последнее выражение имеет более простой вид, чем начальное. Мы его упростили.

Для того чтобы упростить выражение, его необходимо заменить на эквивалентное (равное).

Для определения эквивалентного выражения необходимо:

1) выполнить все возможные действия,

2) пользоваться свойствами сложение, вычитания, умножения и деления для упрощения вычислений.

 

Свойства сложения и вычитания:

1. Переместительное свойство сложения: от перестановки слагаемых сумма не меняется.

2. Сочетательное свойство сложения: чтобы к сумме двух чисел прибавить третье число, можно к первому числу прибавить сумму второго и третьего числа.

3. Свойство вычитания суммы из числа: чтобы вычесть сумму из числа, можно вычитать каждое слагаемое по отдельности.

 

Свойства умножения и деления

1. Переместительное свойство умножения: от перестановки множителей произведение не меняется.

2. Сочетательное свойство: чтобы умножить число на произведение двух чисел, можно сначала умножить его на первый множитель, а потом полученное произведение умножить на второй множитель.

3. Распределительное свойство умножения: чтобы число умножить на сумму, нужно его умножить на каждое слагаемое по отдельности.

Посмотрим, как мы на самом деле делаем вычисления в уме.

Вычислите:

1)        3)

2)        4)

Решение

1) Представим  как : .

2) Представим первый множитель как сумму разрядных слагаемых и выполним умножение: .

3)  можно представить как  и выполнить умножение:

4) Заменим первый множитель эквивалентной суммой:

Распределительный закон можно использовать и в обратную сторону: .

Выполните действия:

1)       2)

Решение

1) Для удобства можно воспользоваться распределительным законом, только использовать его в обратную сторону – вынести общий множитель за скобки.

2) Вынесем за скобки общий множитель : .

 

Необходимо купить линолеум в кухню и прихожую. Площадь кухни – , прихожей – . Есть три вида линолеумов: по ,  и  рублей за . Сколько будет стоить каждый из трёх видов линолеума? (Рис. 1)

Рис. 1. Иллюстрация к условию задачи

Решение

Способ 1. Можно по отдельности найти, сколько денег потребуется на покупку линолеума в кухню, а потом в прихожую и полученные произведения сложить.

 (руб.) – на кухню

 (руб.) – в прихожую

 (руб.)

И так еще считать для двух видов линолеума… Можно ли упростить себе расчеты? Да, можно.

Способ 2. Пусть цена линолеума . Тогда, чтобы купить линолеум на кухню, нужно  руб., а на линолеум в прихожую –  руб. Тогда на всю покупку нужно  руб. Осталось вместо  подставлять разную стоимость линолеума. Таким образом, мы упростили задачу, что дало нам формулу для расчета. Подставим:

  1.  (руб.)
  2.  (руб.)
  3.  (руб.)

 

Список рекомендованной литературы

  1. Виленкин Н.Я. Математика. 5 класс: учеб. для учащихся общеобразоват. учреждений / Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов, А.С. Чесноков, С.И. Шварцбурд – 31-е изд., стер. – М.: Мнемозина, 2013. – 280 с.: илл.
  2. Зубарева И.И., Мордкович А.Г. Математика. 5 класс – М.: Мнемозина.
  3. Истомина И.Б. Математика, 5 класс – М.: Ассоциация ХХI век.

 

Рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

  1. Math-prosto.ru (Источник).
  2. Math-prosto.ru (Источник).
  3. Math-prosto.ru (Источник).

 

Домашнее задание

  • Виленкин Н.Я. Математика. 5 класс: учеб. для учащихся общеобразоват. учреждений / Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов, А.С. Чесноков, С.И. Шварцбурд – 31-е изд., стер. – М.: Мнемозина, 2013., ст. 85 чит., ст. 86 № 558, 562, повтори основные свойства сложения и вычитания, умножения и деления, которыми необходимо пользоваться, чтобы упростить выражения.
  • Найди значение выражений, применяя распределительный закон умножения (вынесите общий множитель за скобки):

а)     б) в)

  • Какими правилами необходимо пользоваться, чтобы упростить выражения?

Упрости данные выражения:

а)      в)       д)

б)     г)          е)

  • * Придумай задачу и реши её по выражению:

web-prd05-eu-west.interneturok.ru

Упрощение выражений

Люди общаются на разных языках. Для нас важным сравнением является пара «русский язык – математический язык». Одну и ту же информацию можно сообщить на разных языках. Но, кроме этого, её можно и на одном языке произнести по-разному.

Например: «Петя дружит с Васей», «Вася дружит с Петей», «Петя с Васей друзья». Сказано по-разному, но одно и то же. По любой из этих фраз мы бы поняли, о чём идёт речь.

Давайте посмотрим на такую фразу: «Мальчик Петя и мальчик Вася дружат». Мы поняли, о чем идет речь. Тем не менее, нам не нравится, как звучит эта фраза. Не можем ли мы её упростить, сказать то же, но проще? «Мальчик и мальчик» – можно же один раз сказать: «Мальчики Петя и Вася дружат».

«Мальчики»… Разве по именам не понятно, что они не девочки. Убираем «мальчики»: «Петя и Вася дружат». А слово «дружат» можно заменить на «друзья»: «Петя и Вася – друзья». В итоге первую, длинную некрасивую фразу заменили эквивалентным высказыванием, которое проще сказать и проще понять. Мы эту фразу упростили. Упростить– значит сказать проще, но не потерять, не исказить смысл.

В математическом языке происходит примерно то же самое. Одно и то же можно сказать, записать по-разному. Что значит упростить выражение? Это значит, что для исходного выражения существует множество эквивалентных выражений, то есть тех, что означают одно и то же. И из всего этого множества мы должны выбрать самое простое, на наш взгляд, или самое подходящее для наших дальнейших целей.

Например, рассмотрим числовое выражение . Ему эквивалентное будет .

Также  будет эквивалентно первым двум: .

Получается, что мы упростили наши выражения и нашли самое краткое эквивалентное выражение.

Для числовых выражений всегда нужно выполнять все действия и получать эквивалентное выражение в виде одного числа.

Рассмотрим пример буквенного выражения . Очевидно, что более простое будет .

При упрощении буквенных выражений необходимо выполнить все действия, которые возможны.

Всегда ли нужно упрощать выражение? Нет, иногда нам удобнее будет эквивалентная, но более длинная запись.

Пример: от числа  нужно отнять число .

Вычислить можно, но если бы первое число было представлено своей эквивалентной записью: , то вычисления были бы мгновенными: .

То есть упрощенное выражение не всегда нам выгодно для дальнейших вычислений.

Тем не менее очень часто мы сталкиваемся с заданием, которое так и звучит «упростить выражение».

Упростить выражение: .

Решение

1) Выполним действия в первых и во вторых скобках: .

2) Вычислим произведения: .

Очевидно, последнее выражение имеет более простой вид, чем начальное. Мы его упростили.

Для того чтобы упростить выражение, его необходимо заменить на эквивалентное (равное).

Для определения эквивалентного выражения необходимо:

1) выполнить все возможные действия,

2) пользоваться свойствами сложение, вычитания, умножения и деления для упрощения вычислений.

 

Свойства сложения и вычитания:

1. Переместительное свойство сложения: от перестановки слагаемых сумма не меняется.

2. Сочетательное свойство сложения: чтобы к сумме двух чисел прибавить третье число, можно к первому числу прибавить сумму второго и третьего числа.

3. Свойство вычитания суммы из числа: чтобы вычесть сумму из числа, можно вычитать каждое слагаемое по отдельности.

 

Свойства умножения и деления

1. Переместительное свойство умножения: от перестановки множителей произведение не меняется.

2. Сочетательное свойство: чтобы умножить число на произведение двух чисел, можно сначала умножить его на первый множитель, а потом полученное произведение умножить на второй множитель.

3. Распределительное свойство умножения: чтобы число умножить на сумму, нужно его умножить на каждое слагаемое по отдельности.

Посмотрим, как мы на самом деле делаем вычисления в уме.

Вычислите:

1)        3)

2)        4)

Решение

1) Представим  как : .

2) Представим первый множитель как сумму разрядных слагаемых и выполним умножение: .

3)  можно представить как  и выполнить умножение:

4) Заменим первый множитель эквивалентной суммой:

Распределительный закон можно использовать и в обратную сторону: .

Выполните действия:

1)       2)

Решение

1) Для удобства можно воспользоваться распределительным законом, только использовать его в обратную сторону – вынести общий множитель за скобки.

2) Вынесем за скобки общий множитель : .

 

Необходимо купить линолеум в кухню и прихожую. Площадь кухни – , прихожей – . Есть три вида линолеумов: по ,  и  рублей за . Сколько будет стоить каждый из трёх видов линолеума? (Рис. 1)

Рис. 1. Иллюстрация к условию задачи

Решение

Способ 1. Можно по отдельности найти, сколько денег потребуется на покупку линолеума в кухню, а потом в прихожую и полученные произведения сложить.

 (руб.) – на кухню

 (руб.) – в прихожую

 (руб.)

И так еще считать для двух видов линолеума… Можно ли упростить себе расчеты? Да, можно.

Способ 2. Пусть цена линолеума . Тогда, чтобы купить линолеум на кухню, нужно  руб., а на линолеум в прихожую –  руб. Тогда на всю покупку нужно  руб. Осталось вместо  подставлять разную стоимость линолеума. Таким образом, мы упростили задачу, что дало нам формулу для расчета. Подставим:

  1.  (руб.)
  2.  (руб.)
  3.  (руб.)

 

Список рекомендованной литературы

  1. Виленкин Н.Я. Математика. 5 класс: учеб. для учащихся общеобразоват. учреждений / Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов, А.С. Чесноков, С.И. Шварцбурд – 31-е изд., стер. – М.: Мнемозина, 2013. – 280 с.: илл.
  2. Зубарева И.И., Мордкович А.Г. Математика. 5 класс – М.: Мнемозина.
  3. Истомина И.Б. Математика, 5 класс – М.: Ассоциация ХХI век.

 

Рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

  1. Math-prosto.ru (Источник).
  2. Math-prosto.ru (Источник).
  3. Math-prosto.ru (Источник).

 

Домашнее задание

  • Виленкин Н.Я. Математика. 5 класс: учеб. для учащихся общеобразоват. учреждений / Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов, А.С. Чесноков, С.И. Шварцбурд – 31-е изд., стер. – М.: Мнемозина, 2013., ст. 85 чит., ст. 86 № 558, 562, повтори основные свойства сложения и вычитания, умножения и деления, которыми необходимо пользоваться, чтобы упростить выражения.
  • Найди значение выражений, применяя распределительный закон умножения (вынесите общий множитель за скобки):

а)     б) в)

  • Какими правилами необходимо пользоваться, чтобы упростить выражения?

Упрости данные выражения:

а)      в)       д)

б)     г)          е)

  • * Придумай задачу и реши её по выражению:

interneturok.ru

Упрощение выражений

Сегодня мы поговорим о часто встречающейся в школьных учебниках задаче – упростить выражение. Сначала научимся отличать сложное выражение от простого. Иногда это явно видно. Например, рассмотрим тождество: .

В данном примере очевидно, что выражение в правой части проще, чем выражение в левой. Но иногда понять это сразу сложно. Упростить выражение – это значит уменьшить количество операций, которые необходимо сделать, чтобы вычислить его значение при конкретных значениях переменных. Например, возьмем формулы сокращенного умножения: . Для вычисления выражения в левой части нужно выполнить  операций: , а для вычисления значения выражения в правой части –  операции (вычитание и возведение в квадрат). То есть мы явно упростили выражение: вместо  операций нужно сделать . Кажется, что разница между  и  небольшая, но в зависимости от значений переменных вычисления могут значительно усложниться при подсчете вручную. Кроме того, если речь идет, например, о компьютерных вычислениях и нам нужно вычислить миллион раз значение выражения при различных значениях переменных , то разница будет в  выполненных операций.

Если мы понимаем закон или формулу, то для нас это просто. Рассмотрим ряд чисел: , , , , , , , , , , ,… Сложно ли предсказать в этом ряду следующее число? Некоторые могут сказать, что это невозможно, но на самом деле это числа Фибоначчи: такая последовательность задается формулой . Зная формулу, предсказать следующее число не составит труда, нужно просто сложить два предыдущих.

Так происходит всегда: когда мы узнаем закон, то, что казалось пугающим, становится понятным и упрощенным. Рассмотрим еще один пример. Есть такая задача: какой номер у парковочного места, в котором припаркован автомобиль (рис. 1)? Дайте ответ в течение  секунд.

Рис. 1. Иллюстрация к задаче

Кажется, что записан странный набор чисел: , , , , …, . Но если понять, что на эти номера мы смотрим сверху вниз, то все становится просто. На самом деле это: , , , , , . Тогда номер очевиден – .

Еще один пример, теория эволюции Ч. Дарвина (рис.2):

Рис. 2. Теория эволюции Ч. Дарвина

До него Линней занимался классификацией (рис. 3):

Рис. 3. Классификация Линнея

Главным достижением биологии является упрощение. Есть царства, типы, классы и т.д. И каждый живой организм принадлежит какой-то ветке на этом дереве. Но классификация не внесла ясность, а вот когда возникла теория Дарвина, тогда стало понятно, почему такое многообразие есть и как оно возникает. Еще один пример из географии. Существует теория – карта. Без нее тяжело найти путь из одного места в другое, но с ней это становится просто.

Важно отметить, что когда мы говорим о порядке, то подразумеваем его субъективность. Если, например, человек не знает чисел, то таблички на домах для него не вносят никакого порядка, увидев знаки , , он не сможет понять, где находится дом .

В математике то, что упрощает вычисления, – это таблица умножения и алгоритм умножения в столбик. А само умножение – это упрощение многократного сложения: . А степень – это упрощение многократного умножения: . Зачем мы привели столько примеров из разных областей? Чтобы показать, что любая теория – это и есть упрощение.

Если рассмотреть мозг как механизм для выживания, то мозг все время создает теории. Так как помнить все невозможно, нужно что-то забывать. Если мы будем помнить все, то в каждый момент нам будет сложно сфокусироваться на происходящем. Но, с другой стороны, нам нужно помнить то, что было, чтобы использовать предыдущий опыт. Получилась противоречивая задача: нужно и забывать, и помнить. Поэтому выход – создание теорий, то есть помнить только существенное. Для того чтобы понять, что такое, например, стол, достаточно показать несколько примеров. Если мы покажем два стола и скажем, что и то, и то – стол, то возникнет идея стола. Или когда ребенок показывает на лужу и говорит, что это вода, для него это возникновение идеи (теории) воды, он понял, что и в луже вода, и в стакане вода, и из-под крана течет тоже вода.

Иногда сформулировать какое-то определение понятия сложнее, чем научиться определять, соответствует ли понятию объект. Если попробовать точно сформулировать ребенку, кто тетя, а кто дядя, это вызовет затруднение. При этом ребенок на основе жизненного опыта строит теорию, помогающую ему практически безошибочно отличать тетю от дяди.

В математике мы тоже часто сталкиваемся с объектами, которые мы не определяем. Например, множество (точка, линия и др.), у этого понятия нет определения, но мы все понимаем, что это. Если говорить про множества, то любое множество – это тоже теория. Например, синяя рубашка и синий автомобиль (рис. 1), что у них общего?

Рис. 1. Иллюстрация к примеру

У них общее свойство, они синие. То есть не только при помощи свойства можно определить множество, но и наоборот. Например, Хлестаков и городничий из комедии Н.В. Гоголя «Ревизор» (рис. 2, 3). С одной стороны, совершенно разные люди: один – дородный, опытный, сильный мужчина, второй – хлюпенький мальчишка. При помощи вопроса «Что у них общего?» можно определить, что такое коррупция. На коррупцию же не укажешь пальцем, а на них можно, оба берут деньги, пользуясь своей властью, что и есть коррупция.

Рис. 2. Антон Антонович Сквозник-Дмухановский, городничий

Рис. 3. Иван Александрович Хлестаков

Два многочлена равны, так как мы имеем некую теорию и знаем, как их преобразовать: , так как . Когда речь идет о выражениях, то упрощение – это уменьшение количества действий. В общем, для каждого понятно, что значит упростить. Это значит убрать все, что можно, не изменив суть изначального объекта. Хорошим примером полезного упрощения в математике также является задача Эйлера о 7 мостах.

Данная задача родилась в городе Калининграде (ранее – Кёнигсберг). Гуляя, жители придумали такую задачу: vожно ли обойти все мосты, при этом не проходя ни по одному мосту дважды (не повторяясь) (рис. 1)?

Рис. 1. Иллюстрация к задаче Эйлера

Решая эту задачу, Эйлер предложил следующее: считать части города точками. Почему так можно сделать? Представим, что все части города мы начнем уменьшать, от этого задача не поменяется, ведь размеры частей города для решения задачи не важны. Значит, как бы мы ни уменьшали их, задача остается той же. То есть можно свести части города к точкам, а мосты – аналогично к линиям, соединяющим эти точки. Тогда получим следующий чертеж (рис. 2).

Рис. 2. Иллюстрация к задаче

Подобные чертежи называют графами. У него  вершины и  ребер. Эйлер получил решение для данной задачи и обобщил его для произвольного графа. Один из пунктов, которые он получил состоит в следующем. Когда мы говорим, что можно обойти все, проходя ровно один раз, то задачу можно переформулировать так: граф можно нарисовать, не отрывая руки от бумаги, причём каждую линию – ровно один раз. Эйлер доказал, что если в графе есть больше двух нечетных вершин (вершин, из которых выходит нечетное количество линий), то такая задача неразрешима. В нашей задаче все  вершины нечётные, значит, ответ на вопрос задачи: обойти таким образом мосты нельзя.

Представим, что у нас есть грузовик и нам нужно развозить что-то по городам, которые соединены дорогами. Естественно, что в таком случае не хочется  раза заезжать в один и тот же город. Пользуясь доказанным фактом, мы сможем узнать, когда это невозможно. Теория графов имеет большое применение, например, в информатике (нейронные сети и др.).

interneturok.ru

Упрощение выражений

Разделы: Математика

Цели урока:

  1. Ознакомить учащихся с распределительным свойством умножения относительно сложения и вычитания.
  2. Выработать навык в использовании этого свойства при устных вычислениях.
  3. Развивать внимание, познавательную активность учащихся.
  4. Воспитание самостоятельности, интереса к предмету.

Оборудование: урок проводится в компьютерном классе.

ХОД УРОКА

I. Организационный момент.

II. Постановка цели урока.

Учитель: Я рада вас видеть. Усаживайтесь, мне поскорее хочется начать общаться с вами… Сегодня на уроке мы повторим правила, которые вы изучали в начальной школе, дадим им новое название, и будем учиться применять их при упрощении выражений. В этом нам поможет презентация (Приложение 1). В конце урока, при выполнении теста, мы посмотрим, как вы поняли тему (Приложение 2), (Приложение 3)

II. Актуализация знаний учащихся.

1. Работа устно: (Приложение 1)

Работа проводится с целью повторения свойств умножения.

  1. 25 * 17 * 4
  2. 125 * 28 * 4
  3. 50 * 7 * 2
  4. 8 * 62 * 125
  5. 46 * 6
  6. 58 * 9

- Найдите значения выражений.

- Какие свойства вам пришлось использовать при вычислениях?

- Расскажите, как вы вычисляли 46 * 6.

( 46 * 6 = ( 40 + 6 ) * 6 = 40 * 6 + 6 * 6 = 276.)

- Сформулируйте это правило.

2. Повторение правил умножения суммы и разности на число.

Задача. В таблице 5 строк и 7 столбцов. К ней приписали еще 4 столбца. Сколько клеток стало в таблице?

Для решения этой задачи можно составить выражение 5 * 7 + 5 * 4. А можно составить другое выражение 5 * ( 7 + 4). Ясно, что число клеток в получившейся таблице будет одним и тем же, как бы его ни подсчитывать. Так что можно записать равенство:

5 * (7 + 4) = 5 * 7 + 5 * 4.

Если взять таблицу, в которой a строк и b столбцов и приписать к ней еще с столбцов, то получим равенство:

a * ( b + c) = a * b + a * c

В этой формуле a, b и c обозначают любые натуральные числа. Переставляя в ней множители, получаем формулу:

(b + c ) * a = b * a + c * a.

Представьте теперь таблицу, в которой a строк и b столбцов. Вычеркнем из нее c столбцов. Сколько клеток будет в получившейся таблице? Ответ опять можно дать двумя выражениями:

a * b - a * c и a * ( b - c).

Так верна формула:

a * ( b - c) = a * b - a * c.

Переставляя в ней множители, получаем похожую формулу:

(b - c ) * a = b * a - c * a.

IV. Работа по теме урока.

1. Обнаруженные свойства говорят, что числовой множитель как бы распределяется к слагаемым. Поэтому это свойство называют распределительным свойством умножения относительно сложения и вычитания.

2. В учебнике на с. 85 прочитайте правила. После прочитанного вслух 2-3 раза проговорить хором (учебники в этот момент закрытые). Очень важно развивать воображение учеников. С этой целью мы с учащимися выполняем упражнение “Буратино”. Предлагается закрыть глаза и представить, что их нос вырос, как у Буратино. Можно предложить обмакнуть его, как в сказке, в чернила и написать как можно красивее носом в воздухе правила, выражающие распределительные свойства, зафиксировать перед глазами записанное слово, запомнить его.

3. Записать эти правила в тетрадь

4. Например:

3a + 7a = (3 + 7)a = 10a;

26x – 12x = (26 – 12)x = 14x.

5. Выполнить № 560, № 561, с. 86 (на доске и в тетрадях)

V. Физкультминутка. (Ученики встают, руки вытянуты вперед. Задание: если учитель назовет правильный ответ, ученики поднимают руки вверх, можно при этом подняться на носки, потянуться; если неправильный – руки опускают вниз с наклоном и расслаблением)

1) 6 • (50+100) = 900;

2) 8 • (100 – 4) = 768;

3) 4 • (30 +9) = 156;

4) 9 • 59 = 531;

5) 3 (a + 4) = 3a + 4;

6) (6 + x) • 7 = 42 + 7x

5. Выполнить № 557, с.86 (на доске и в тетрадях)

6. Выполнить самостоятельно с последующей проверкой:

Опираясь на распределительное свойство умножения, вместо квадратиков запишите такие числа, чтобы равенства были верные:

5 * ( 10 + 6 ) = ? + ?

4 * ( ? + ? ) = 16 + 20

( ? + 11 ) * 3 = 21 + ?

( 7 + 8 ) * ? = 70 + ?

ПРОВЕРКА:

5 * ( 10 + 6 ) = 50 + 30

4 * ( 4 + 5) = 16 + 20

( 7 + 11 ) * 3 = 21 + 33

( 7 + 8 ) * 10 = 70 + 80

7. Найдите ошибку:

4 * (11 – 7) = 33 – 21

(7 + 8) * 10 = 70 + 81

V. Самостоятельная работа.

Перед самостоятельной работой на компьютерах, выполнить упражнение “Оживлялки” для активизации умственных способностей: потереть с силой ладошки друг о друга в течение нескольких секунд, пока не загорят.

Тестирование

1 вариант (Приложение 2).

2 вариант (Приложение 3)

Тест. Распределительные свойства умножения. (Два варианта)

1. Какое свойство называют распределительным относительно сложения?

  1. ab=ba
  2. а ( b - с)=аb – ас
  3. а ( b + с)=аb + ас
  4. a + b=b + a

2. Выполните действие и отметьте правильный результат: 111 * 3028 - 11 * 3028

  1. 0
  2. 302 800
  3. 100
  4. 302

3. Отметьте равенство, выражающее распределительное свойство: (13 - y) * 3 = ...

  1. 13 * 3 - 3 * y
  2. 13 * 3 + 3 * y
  3. 3 * y -13 * 3
  4. 3 * y +13 * 3

4. Упростите выражение, применив распределительное свойство, и вычислите его значение:

8 * y + 8 * z, при y = 37 и z = 63.

  1. 8
  2. 100
  3. 16
  4. 800

5. На сколько больше ног у 17 котят, чем у 17 цыплят?

  1. 34
  2. 2
  3. 17
  4. 68

Учащиеся, получившие положительную оценку за тест, получают дополнительные карточки.

V. Индивидуальная работа по карточкам.

I  уровень

  1. 17 * (623 + 377)
  2. Из цифр 1, 3, 5 составляют всевозможные трехзначные числа. Найдите разность самого большего и самого маленького из них. (В любом числе каждая цифра используется один раз.)

II уровень

  1. 29 * (377 + 233)
  2. Из цифр 6, 7, 8 составляют всевозможные трехзначные числа. Найдите разность самого большего и самого маленького из них. (В любом числе каждая цифра используется один раз.)

III уровень

  1. 19 * (266 + 344)
  2. Из четырех цифр 1,3, 5, 7 составьте два различных двузначных числа, произведение которых будет наибольшим. Найдите это произведение.

VI. Подведение итогов урока.

Домашнее задание (с комментариями): выучить правила с.85, с. 91, № 610, 616, 613 (доп.).

Рефлексия “Солнышко”. Учащимся в начале урока раздаются лучики: синий и желтый. После окончания урока дети оставляют на парте лучик, соответствующий их отношению к прошедшему уроку: синий – не понравился, желтый - понравился.

Рекомендуемая литература

  1. Математика: учебник для 5 кл. общеобразовательных учреждений Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов, А.С. Чесноков, С.И. Шварцбурд.– 19-е изд.– М.: Мнемозина, 2006.
  2. Занимательные задания в обучении математике, 2-е изд. М.: Просвещение, 2001.
  3. Ковалько В.И. Школа физкультминуток: Практические разработки физкультминуток, гимнастических комплексов, подвижных игр. – М.: “ВАКО”, 2005, 208 с. – (Мастерская учителя).

xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai

упростите выражение калькулятор - Boomle.ru

Обычный и инженерный калькулятор. Другие онлайн калькуляторы.Примеры упрощаемых выражений.

kontrolnaya-rabota.ru > Упрощение выражений ·

Калькулятор упрощения выражений | umath.ru

Калькулятор упрощения выражений. Программа помогает упрощать дробные выражения, тригонометрические выражения, преобразовывать к красивому виду многочлены.

umath.ru > Калькулятор упрощения

Упростить выражение онлайн

В результате, наш калькулятор попытается автоматически упростить введенное вами выражение. Наш калькулятор умеет приводить подобные слагаемые, упрощать значения...

mathforyou.net > Упростить выражение

Калькулятор упрощает заданное математическое выражение.

Упрощение математических выражений. Калькулятор упрощает заданное математическое выражение.

PlanetCalc.ru > Калькулятор упрощает

Калькулятор онлайн - Упрощение многочлена (умножение...)

...и сохранены пользователями на нашем сервере с помощью этого онлайн-калькулятора.Выражения нетрудно преобразовать (упростить) в многочлены стандартного вида...

mathsolution.ru > Калькулятор онлайн -

Картинки: упростите выражение калькулятор

Онлайн упрощение математических выражений с помощью...

Калькулятор упрощает математические выражения, к тому же показывает всю последовательность упрощения формулы.

hostciti.net > Онлайн упрощение

Expression Simplification | Примеры упрощения выражений

Калькулятор производных Вычисление интегралов Определённые интегралы Калькулятор пределов Калькулятор рядов Решение уравнений Упрощениe выражений Разложение на...

ru.numberempire.com > Expression Simplification | Примеры

Калькулятор рациональных выражений

Онлайн калькулятор для вычисления значений рациональных выражений, вычисление выражений с дробями и степенями.

ru.onlinemschool.com > Калькулятор рациональных

раскрыть скобки и упростить выражение онлайн - Fxyz.ru

Раскрыть скобки, раскройте скобки и упростите выражение, раскрыть скобки и упростить выражение онлайн.Калькулятор.

fxyz.ru > раскрыть скобки и

Онлайн калькулятор дробей с решением со степенями со...

Данный онлайн калькулятор дробей предназначен для сложения, вычитания, деления и умножения между собой обыкновенных дробей.

calculatori.ru > Онлайн калькулятор дробей

Раскрыть скобки и упростить выражение

Все онлайн калькуляторы.

math.semestr.ru > Раскрыть скобки и

упростить комплексное выражение | Комплексные числа

упростить комплексное выражение. Предлагаем калькулятор для вычисления выражений на множестве комплексных чисел.

reshim.su > упростить комплексное

Упрощение математических выражений.

Калькулятор упрощает заданное математическое выражение. В выражении можно использовать одну переменную (x), целые и дробные константы, алгебраические действия...

mogggiiien.narod.ru > Упрощение математических

Уравнения онлайн. Математика онлайн

Представить выражение в виде правильной или неправильной дроби и применить калькулятор дробей необходимов этом выражении, для того, чтобы упростить задачу учащемуся в ВУЗе.

math34.biz > Уравнения онлайн.

Калькулятор степеней онлайн

Web 2.0 scientific calculator.Кроме этого предоставленный калькулятор онлайн позволить осуществить расчеты сложных выражений, к примеру: (21-45)/(1.5*2)*(8+2*2)=-96.

onlinecalculator.ru > Калькулятор степеней

Калькуляторы по алгебре | Найти значение выражения

Найти значение выражения. Калькулятор дробей. Калькулятор дробей - сложение, вычитание, умножение, деление дробей в том числе с целыми числами.

calc.ru > Калькуляторы по алгебре |

Калькулятор дробей онлайн

Пытается упростить выбранную дробь.Распечатка выражения на принтере. Вычисление суммы, разности, произведения и частного двух дробей онлайн.

matworld.ru > Калькулятор дробей

Очень продвинутый онлайн калькулятор

Нам все таки удалось найти очень удобный профессиональный онлайн калькулятор и сегодня, мы расскажем о нем. Читайте об онлайн сервисах на Itpride...

itpride.net > Очень продвинутый онлайн

Стена | ВКонтакте

Калькулятор упрощает заданное математическое выражение.Помощь с решением контрольных – упростить выражение Заказать контрольную.

vk.com > Стена | ВКонтакте

Решить ваши задачи онлайн с нашей программой.

Вы можете решать все задачи с основного раздела математики а также координатных задач, простых уравнений, неравенств, упрощать выражения.

math20.com > Решить ваши задачи онлайн

Калькулятор дробей онлайн

Онлайн калькулятор дробей предназначен для расчета простых и смешанных дробей с целыми числами.Заказать калькулятор. Заявка на разработку онлайн-калькулятора. Ваше имя

calc.by > Калькулятор дробей

Онлайн инструменты по математической логике

Представляю Вам новую версию калькулятора. Теперь программа умеет находить ДНФ и КНФ. Так же усовершенствованы некоторые алгоритмы.

tablica-istinnosti.ru > Онлайн инструменты по

Упрощение тригонометрических выражений

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.Упростить тригонометрическое выражение.

ru.solverbook.com > Упрощение

Калькулятор дробей - сложить, умножить, разделить, найти...

Если целая часть заполнена, калькулятор приведет смешанное число в неправильную дробь и выполнит операцию. Заполните поля калькулятора чтобы найти сумму, разность...

calcs.su > Калькулятор дробей -

Упростите выражение калькулятор онлайн

Упростите выражение калькулятор онлайн. Упрощение сложных выражений в алгебре. Научиться упрощать выражения в математике просто необходимо...

cstor.nn2.ru > Упростите выражение

Калькулятор дробей онлайн: деление, умножение, вычитание...

Также, калькулятор дробей умеет работать со степенями, с квадратным корнем . Калькулятор со скобками может использоваться для сокращения дробей.

drobster.ru > Калькулятор дробей онлайн:

Онлайн версия программы для решения примеров и уравнений...

calc.loviotvet.ru > Онлайн версия программы

Математический калькулятор с расширенными возможностями.

Инженерный калькулятор позволяет использовать много разных математических функцийпросто введите последовательность математических выражений в соответствующее поле и...

ncor.ru > Математический

Как упростить математическое выражение

Как упростить математическое выражение. Зачастую в задачах требуется привести упрощенный ответ.При помощи калькулятора разделите 36 на 60 и получите 0,6. Но вы...

ru.wikihow.com > Как упростить

Калькулятор выражений - Калькулятор с использованием...

ProAndroid.net > Калькулятор выражений -

www.boomle.ru

Программа Для Упрощения Выражения С

Упрощение математических выражений из коллекции онлайн калькуляторов Planetcalc. Логические Выражения - Программа в состоянии выполнять очень сложные и Обычно полученный результат вручную упрощению не. В данном разделе представлен онлайн калькулятор, позволяющий производить преобразование ( упрощение) выражений в символьном виде. Упрощение выражений и решение уравнений. Помимо решения примеров, Лови Ответ умеет также упрощать выражения и даже решать уравнения. В решении по действиям программа сначала упрощает левую и правую часть выражения и лишь в конце сводит его к нулю.

Преобразование и упрощение более сложных выражений с корнями по предмету алгебра за 8 класс. Вкратце повторим теорию и напомним основные свойства квадратных корней. Свойства квадратных корней: 1. Упростить выражение . Решение. Для упрощения  число 1. Квадрат суммы раскроем по соответствующей формуле.

Ответ. Упростить выражение . Решение. Учтем, что данное выражение имеет смысл не при всех возможных значениях переменной, т. ОДЗ:  (). Приведем выражение в скобках к общему знаменателю и распишем числитель последней дроби как разность квадратов: при. Ответ. Упростить выражение .

Категория: Калькуляторы. Калькулятор выражений — это приложение представляет собой не только калькулятор, но, в первую очередь, инструмент для упрощения сложных математических выражений. В данном разделе представлен онлайн калькулятор, позволяющий производить преобразование (упрощение) выражений в символьном виде. В результате, наш калькулятор попытается автоматически упростить введенное вами выражение.

Решение. Видно, что вторая скобка числителя имеет неудобный вид и нуждается в упрощении, попробуем разложить ее на множители с помощью метода группировки. Для возможности выносить общий множитель мы упростили корни путем их разложения на множители.

Подставим полученное выражение в исходную дробь. После сокращения дроби применяем формулу разности квадратов. Ответ. Освободиться от иррациональности (корней) в знаменателе: а) ; б) .

Решение. Это делается для дополнения знаменателя дроби до разности квадратов, что позволяет избавиться от корней в знаменателе. Выполним этот прием в нашем случае: . Ответ.; . Пример 5. Докажите равенство .

Доказательство. Воспользуемся определением квадратного корня, из которого следует, что квадрат правого выражения должен быть равен подкоренному выражению. Раскроем скобки по формуле квадрата суммы:  , получили верное равенство. Доказано. Пример 6. Упростить выражение . Решение. Указанное выражение принято называть сложным радикалом (корень под корнем). В данном примере необходимо догадаться выделить полный квадрат из подкоренного выражения.

Для этого заметим, что из двух слагаемых  является претендентом на роль удвоенного произведения в формуле квадрата разности (разности, т. Распишем его в виде такого произведения: , тогда на роль одного из слагаемых полного квадрата претендует , а на роль второго – 1. Подставим это выражение под корень. Модуль раскрывается в таком виде, т. Свойства квадратного корня», а на следующем уроке начинаем новую тему «Действительные числа».

Список литературы. Дорофеев Г. В., Суворова С. Б., Бунимович Е. А. Никольский С. М., Потапов М. А., Решетников Н.

Н., Шевкин А. В. Учебник для общеобразовательных учреждений. Интернет- портал xenoid. Источник). 2. Математическая школа (Источник). Интернет- портал XReferat. Ru (Источник). Домашнее задание. Дорофеев Г. В., Суворова С. Б., Бунимович Е. А.

Избавьтесь от иррациональности в знаменателе: а) , б) . Упростите выражение: а) , б) .

Решебник и калькулятор с решениями примеров и уравнений онлайн. Бесплатная программа Лови. Ответ для автоматического решения математических. Простой и приятный.

Вы увидете выполнения всех действий решения примеров, уравнений. Решайте примеры и. Лови. Ответ! Ищете где скачать калькулятор ?

Попробуйте калькулятор XXI века. Калькулятор Лови. Ответ решает математические примеры и уравнения с отображением этапов решения. Вас приятно удивит результат решения - на разлинованном. Отлично. подходит как для проверки уже выполненных заданий, так и для, непосредственно, их выполнения. Этот год мудрости и рациональности.

Лови ответ не просто калькулятор! Лови. Ответ на Apple App. Store. Помимо версии под Android(Google Play), программа Лови. Ответ доступна. для использования на платформах i.

OS версии 5. 1 и выше. Также отлично зарекомендовала себя среди родителей, в качестве отличного инструмента для проверки домашних заданий. Домашние задания по математике - это просто! Все арифметические действия по желанию выполняются . Если только записать на нем адрес сайта Lovi. Otvet. ru и подарить вашему лучшему другу или однокласснику.

Блог : Благодарности и предложения.

servictrain.weebly.com

Построение таблицы истинности

  1. упрощение сндф онлайн

dm7.25privat.ga - QR-код — это двухмерный штрихкод (бар-код), предоставляющий информацию для быстрого распознавания её камерой на мобильном телефоне. 2zm.25privat.cf - Совершенной конъюнктивной нормальной формой (СКНФ), относительно некоторого заданного конечного набора переменных, называется такая КНФ, у которой в каждую дизъюнкцию входят все переменные данного набора, причём в одном и том же порядке. mzb.25privat.tk - - разность квадратов равна произведению разности на сумму. t5a.privat25.cf - Всё для учебы Математика в школе Таблица истинности онлайн с примерами - логика Чтобы добавить страницу в закладки, нажмите Ctrl+D. eb4.25privat.gq - А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? wra.25privat.gq - Чтобы умножить многочлен на многочлен, надо каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого и сложить полученные произведения. fgd.privat25.cf - Выражения нетрудно преобразовать (упростить) в многочлены стандартного вида, собственно, вы уже встречались с таким заданием при умножении многочленов: Полученные тождества полезно запомнить и применять без промежуточных выкладок. zgv.privat25.tk - Графический редактор онлайн можно использовать для создания и обработки цифровой графики и фотографий, для создания рисунков и логотипов. weq.privat25.tk - Например: г) переход от КНФ к СКНФ Этот переход осуществляется способом, аналогичным предыдущему: если в простой дизъюнкции не хватает какой-то переменной (например, z , то добавляем в нее выражение (это не меняет самой дизъюнкции), после чего раскрываем скобки с использованием распределительного закона): Таким образом, из КНФ получена СКНФ. ebk.privat25.tk - при вводе математически некорректного или неполного выражения будет выдано сообщение об ошибке с основными рекомендациями по правильному вводу выражений.

Калькулятор онлайн - Упрощение многочлена (умножение.)

Отрицание (верхнее) полученной ДНФ (снова по правилу де Моргана) сразу дает нам КНФ: Заметим, что КНФ можно получить и из первоначального выражения, если вынести у за скобки б) переход от КНФ к ДНФ Этот переход осуществляется простым раскрытием скобок (при этом опять-таки используется правило поглощения) Таким образом, получили ДНФ. Например: Произведение одночлена и многочлена тождественно равно сумме произведений этого одночлена и каждого из членов многочлена. Последовательность построения (составления) таблицы истинности: Таким образом, можно составить (построить) таблицу истинности самостоятельно. Способ ввода выражения: Обычный Улучшенный Все калькуляторы Построить таблицу истинности онлайн, калькулятор логических выражений. Простой дизъюнкцией называется дизъюнкция одной или нескольких переменных , при этом каждая переменная входит не более одного раза ( либо сама , либо ее отрицание ).Например, выражение &ndash простая дизъюнкция, Конъюнктивной нормальной формой (КНФ) называется конъюнкция простых дизъюнкций (например выражение &ndash КНФ).

Online tools for mathematical logic

(Онлайн всего: 1. Гостей: 1. Пользователей: 0. Совершенная дизъюнктивная нормальная форма формулы (СДНФ). Новый семестр.)

Результат нужно преобразовать способом, описанным выше, заменив слово конъюнкция на дизъюнкция и наоборот. Если перед скобками ставится знак «-», то члены, заключаемые в скобки, записываются с противоположными знаками. Используйте AND (И), OR (ИЛИ), NOT (отрицание), XOR (исключающее ИЛИ), NAND (И-НЕ), NOR(ИЛИ-НЕ), and XNOR (эквивалентность), IMPLIES (импликация). Логической (булевой) функцией n переменных y = f(x 1 , x 2 , …, x n ) называется такая функция, у которой все переменные и сама функция могут принимать только два значения: 0 и 1. Например, в элементарной конъюнкции ${\overline{x}}_1$ не хватает переменных $x_2,x_3,x_4$, значит, нужно в нее добавить конъюнкции следующих элементарных дизъюнкций $\left(x_2\vee {\overline{x}}_2\right)\left(x_3\vee {\overline{x}}_3\right)\left(x_4\vee {\overline{x}}_4\right)$. Совершенной дизъюнктивной нормальной формой (СДНФ) называется такая дизъюнктивная нормальная форма , у которой в каждую конъюнкцию входят все переменные данного списка ( либо сами , либо их отрицания ), причем в одном и том же порядке. Из определения логической функции следует, что функция n переменных – это отображение B n в B , которое можно задать непосредственно таблицей, называемой таблицей истинности данной функции. В процессе работы программа: - умножает многочлены - суммирует одночлены (приводит подобные) - раскрывает скобки - возводит многочлен в степень Программа упрощения многочленов не просто даёт ответ задачи, она приводит подробное решение с пояснениями, т.е. Такая таблица позволяет анализировать контактную технологическую структуру с помощью записи в систематизированном виде состояний ее выхода для всех возможных состояний входов. Совершенной конъюнктивной нормальной формой (СКНФ) называется такая КНФ, у которой в каждую простую дизъюнкцию входят все переменные данного списка (либо сами, либо их отрицания), причем в одинаковом порядке. Простой дизъюнкцией или дизъюнктом называется дизъюнкция одной или нескольких переменных или их отрицаний, причём каждая переменная входит в неё не более одного раза. Таблицы истинности применяются для определения значения какого-либо высказывания для всех возможных случаев значений истинности высказываний, которые его составляют. Если у вас остались вопросы по вводу выражений, изучите справку. Переменные, которые могут принимать только два значения 0 и 1 называются логическими переменными (или просто переменными). cialis pills side effects positive 1 http://pharmshop-online.com - generic cialis cialis for daily use prices website generic cialis - buy cialis online administrators new ed treatments Можно ли исходный код посмотреть просто вишу что-то подобное и не могу найти несколько ошибок.

zfd.20qa.gq


Смотрите также